Siano a,b,c ∈ ℝ⁺ tali che a+b+c=a∙b∙c. Dimostrare che max{a,b,c}>3/2
Esplicitiamo la c
c = (a+b)/(ab-1)
se calcoliamo le derivate parziali
∂c/∂a = -(b²+1)/(ab-1)²
∂c/∂b = -(a²+1)/(ab-1)²
osserviamo che essendo entrambe negative la funzione c(a,b) è decrescente al crescere delle due variabili
basta quindi osservare che
c(3/2,3/2) = 12/5 > 3/2
quindi c > 3/2 per 0<a,b<3/2
altrove abbiamo a,b>3/2
quindi max{a,b,c}>3/2 come volevasi dimostrare
però:
poniamo a<=b<=c poiche siamo in R+ segue (1) |a| <=|b|<=|c| e anche sempre perché siamo in R+ a+b+c =|a+b+c| . Per la proprietà dei moduli |a+b+c| <= |a|+|b|+|c| poi segue (per la (1)) <= 3|c| = 3c (sempre perché siamo in R+ quindi abbiamo a+b+c = a*b*c <= 3c => a*b <=3 ma |a| <=|b| => la^2|=a^2 <=ab <= 3 cioè a^2<=3 cioè sempre perché in R+ a<=sqrt3. Quindi il max {a} > 3/2
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