siano H e K due variabili casuali indipendenti con distribuzione uniforme tra 1 e 2
la probabilità che la variabile casuale H + K sia compresa tra 2 e 3?
Il modo più rapido e intuitivo che mi viene in mente è disegnare lo spazio delle due variabili (chiamiamole x e y) sul piano cartesiano. Lo spazio delle variabili è un quadrato di vertici (1,1), (1,2), (2,1) e (2,2).
La condizione x+y>2 e x+y< 3 due rette di coeff angolare -1 (quindi parallele ad una diagonale del quadrato), rispettivamente passanti per (1,1) e (2,1). La regione di quadrato compresa tra queste due rette contiene proprio i valori x y con somma compresa tra 2 e 3. Tale ragione se fai il disegno è proprio mezzo quadrato, ed essendo le due probabilità uniformi, vuol dire che la probabilità coincide proprio con la frazione di area totale dello spazio delle variabili, cioè 1/2
oppure
La via più spedita per arrivare al risultato è probabilmente l'utilizzo di un circuito sommatore: H + K può essere vista come l'uscita di un circuito sommatore con ingressi H e K. Ognuna di esse ha densità di probabilità uniforme, ossia un rettangolo centrato in 3/2. A partire dalla densità di probabilità dell'uscita del sommatore, calcolabile tramite le regole del transito, considerando tutte le traslazioni e saturando nell'intervallo di interesse, si ottiene il risultato desiderato.
Più in dettaglio, la somma di due v.a. H e K, supposte statisticamente indipendenti, ha come densità di probabilità la convoluzione delle densità di probabilità di H e K. Ognuna è un rettangolo di base 1 e altezza 1, convoluto con un impulso matematico centrato in 3/2. Di conseguenza, abbiamo come risultato della convoluzione un triangolo di area 2 e altezza 1, centrato in 3/2 + 3/2 = 3. Da 2 a 3, viene considerato mezzo triangolo, con area 1/2.
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