Siano p, q numeri primi distinti e sia G un gruppo finito di ordine pq. Provare che, se p > q e p non è congruo a 1 modulo q, allora G è ciclico

Con il teorema di Sylow vedi che c'è esattamente un p-Sylow ed esattamente un q-Sylow, che devono quindi essere normali. L'intersezione di questi Sylow è (1) e il loro prodotto è tutto il gruppo, quindi

G = C_p x C_q = C_pq.