Siano x, y, z, con x < y < z, numeri interi che esprimono le misure dei lati di un triangolo rettangolo
Fissato il numero naturale n, quanti triangoli rettangoli soddisfano alla condizione xy = n(x + y + z)
dalla
xy=n(x-y-z) 1.
ricavo
n=xy/(x+y+z) 2.
x y z è una terna pitagorica quindi
x=k²-h²
y=2kh 3.
z=k²+h²
sost le 3 nella 2 e ottengo:
n=h(k-h)
che risolta rispetto a k da:
k=n/h+h
k>h>0
ora n=Πᵢpᵢᵃⁱ
i=1, ...n
senza tener conto dei segni negativi esistono
(1/2)Πᵢ(aᵢ+1) fattorizioni distinte di n
e
Πᵢ(aᵢ+1) potenziali sistemi da risolvere
se n è primo
il nr di soluzioni è 3
il numero di soluzioni sol è sempre sol≤n nel caso di n=6 sol(6)=6 adempio
In definitiva
sol(1)=(¹₁)=(¹₀)=1
sol(2)=(²₁)=2
sol(3)=(³₁)=(³₂)=3
sol(4)=(1/2)(⁴₂)=(3/4)(⁴₁)=3
sol(5)=(3/5)(⁵₁)=(2/5)(⁵₂)=3
sol(6)=(⁶₁)=(2/5)(⁶₂)=6
sol(7)=(1/7)(⁷₂)=(3/7)(⁷₁)=3
sol(8)=(4/7)(⁸₂)=(4/8)(⁸₁)=4
sol(9)=(5/9)(⁹₁)=5
sol(10)=sol(2)·sol(5)=6
sol(11)=(3/11)(¹¹₁)=3
sol(12)=sol(3)·sol(4)=9
sol(13)=(3/13)(¹³₁)=3
sol(14)=sol(2)·sol(7)=6
sol(15)=sol(3)·sol(5)=9
sol(16)=(5/16)(¹⁶₁)=5
sol(17)=3
sol(18)=sol(2)·sol(9)
sol(19)=3
sol(20)=sol(4)·sol(5)=9
sol(21)=sol(3)·sol(7)=9
sol(22)=sol(2)·sol(11)=6
sol(23)=3
sol(24)=sol(3)·sol(8)=12
sol(25)=(5/25)(²⁵₁)=5
sol(26)=sol(2)·sol(13)=6
sol(27)=(7/27)(²⁷₁)=7
sol(28)=sol(4)·sol(7)=9
sol(29)=3
sol(30)=sol(5)·sol(6)=18
sol(31)=3
sol(32)=(6/32)(³²₁)=6
sol(33)=sol(3)·sol(11)=9
sol(34)=sol(2)·sol(17)=6
sol(35)=sol(5)·sol(7)=9
sol(36)=sol(4)sol(9)=15
sol(40)=sol(5)sol(8)=12
sol(41)=3
sol(42)=sol(2)sol(21)=18
......
se p q coprimi
sol(pq)=sol(p)sol(q)
......
a tale regola devo verificare se ci siano eccezioni
in ogni caso se n=pq con p q coprimi
sol(n)=sol(p)sol(q)
posso ovviamente iterare
se n è una potenza esatta la regola non vale
va corretta penso perchè non risulta con precisione per numeri maggiori a meno di falle nel programmino dovute a un ′out of range′
Per ipotesi x < y ma non è detto che x sia dispari e y pari. Potrebbe essere anche il contrario.
in tal caso basta considerare le terne non primitive e anche i 2!=2 modi con cui posso scegliere i due cateti
ho trovato che se n è fattorizzabile in p q coprimi
n=pq
sol(n)=sol(p)sol(q)
non son sicuro che funzioni per numeri elevati e sicuramente non vale per potenze esatte
Anche se n è una potenza esatta si hanno soluzioni. Per esempio, per n = 9 = 3², si hanno cinque soluzioni di cui una è (x = 19, y = 180, z = 181).
noto che viene fuori una equazione pitagorica e il numero di soluzioni distinte non banali con x<y<z cresce con il numero di possibili fattorizzazioni di n.
Per n primo o pari a 1 ci son al piu 3 soluzioni. Dovrei affrontare tutte le possibili casistiche.
la base di tutto è che dalla
xy=n(x+y+z) (1)
con
z²=x²+y² (2)
si perviene quadrando a una eq pitagorica
(nx)²+(ny)²=(xy-n(x+y))²
in cui imponendo le soluzioni in termini di r s parametri interi,
nx=r²-s²
ny=2rs
z=xy-n(x+y)=r²+s²
e sostituendo nella (2)
ottengo
n²=s(r-s)
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