Dimostrare che se z1+z2+z3=0 allora questi formano un triangolo equilatero sul piano di Gauss.
è considerare le equazioni
cos(t1)+cos(t1+f2)+cos(t1+f2+f3)=0
sin(t1)+sin(t1+f2)+sin(t1+f2+f3)=0
da cui
cos(t1)+cos(t1)cos(f2)-sin(t1)sin(f2)+cos(t1)cos(f2+f3)-sin(t1)sin(f2+f3)=0
sin(t1)+sin(t1)cos(f2)+cos(t1)sin(f2)+sin(t1)cos(f2+f3)+cos(t1)sin(f2+f3)=0
cos(t1)[1+cos(f2)+cos(f2+f3)]-sin(t1)[sin(f2)+sin(f2+f3)]=0
sin(t1)[1+cos(f2)+cos(f2+f3)]+cos(t1)[sin(f2)+sin(f2+f3)]=0
Dato che è un sistema di due equazioni e tre incognite significa che una delle tre incognite può essere considerata un parametro e assumere qualunque valore. Scegliamo t1 per questo ruolo e di conseguenza le due equazioni (dato che seno e coseno non si annullano mai contemporaneamente) possono essere soddisfatte solo se si annullano separatamente le parentesi quadre (che sono a due a due uguali), quindi
1+cos(f2)+cos(f2+f3)=0
sin(f2)+sin(f2+f3)=0
Dalla seconda sin(f2)=-sin(f2+f3) due seni sono opposti o se gli angoli sono antipodali o se la loro somma da 2pi. Nel primo caso sarebbe f3=pi ma per sostituzione si ottiene che questa posizione non può risolvere la prima. Nel secondo caso 2f2+f3=2pi, quindi f3=2pi-2f2. Per sostituzione nella prima abbiamo
1+cos(f2)+cos(2pi-f2)=0
cos(f2)=-1/2
Quindi f2=2pi/3 oppure f2=-2pi/3, da cui f3=2pi/3 oppure f3=-2pi/3. In entrambi i casi le tre fasi sono equidistanziate di 2pi/3 e quindi sono i vertici di un triangolo equilatero.
zj = xj + i yj
Noi sappiamo che |z1+z2|=|z3|=1: ossia
x1² + x2² + 2 x1x2 + y1² + y2² + 2 y1y2 = 1;
Ricordando che xj²+yj²=1, si riscrive
2 + 2(x1x2 + y1y2) = 1, ossia
x1x2 + y1y2 = -1/2.
Adesso possiamo valutare la lunghezza del lato z1→z2, ossia |z1-z2|. Vale
|z1-z2|² = (x1-x2)²+ (y1-y2)² =
= x1²+x2² -2 x1x2 + y1² + y2² - 2 y1y2 =
= 2 - 2(x1x2 + y1y2) = 2 -2 (-1/2) = 2+1=3.
E quindi |z1-z2| =√3. È facile accorgersi che quanto abbiamo trovato non dipende in nulla dagli indici e quindi questa lunghezza è la stessa per tutti i lati; cioè il triangolo è equilatero
potremmo:
Gli zi soddisfano il polinomio di terzo grado (z-z1)(z-z2)(z-z3), che espanso dà z^3+(z1z2+z1z3+z2z3)-(z1z2z3)=0. Ora, senza perdere di generalità, pensando agli zi in notazione esponenziale exp(i*ai), possiamo applicare una rotazione di angolo alpha in modo tale che z1z2z3=1. In questo modo otteniamo l'equazione sugli angoli a1+a2+a3+3alpha=0 (mod 2pi). Ma allora ai+aj+2alpha=-ak-alpha (mod 2pi) e di conseguenza applicando una riflessione rispetto all'asse x otteniamo che il termine z1z2+z1z3+z2z3=0. Finalmente, dopo aver ruotato e riflesso, otteniamo che gli zi soddisfano il polinomio z^3-1, ovvero sono le tre radici cubiche dell'unità, le quali formano un triangolo equilatero. Poichè un triangolo equilatero siffatto è simmetrico rispetto a rotazioni e riflessioni abbiamo che anche gli zi originali formavano un triangolo equilatero!
