sottospazio di R³, come si fa a capire
(condizione necessaria affinché qualcosa sia un sottospazio vettoriale è che contenga l'origine -perché?- ... il tuo sottoinsieme di R^3 contiene l'origine?)
Non è un sottospazio vettoriale, perché non puoi costruire l'elemento opposto, ovvero un elemento u di U tale che (x, 2, x) - u = 0. In effetti, U è un sottospazio affine, perché non contiene l'origine (nota che la componente y è sempre pari a 2, non la puoi mai annullare)
Devi chiederti: soddisfa le condizioni di essere sottospazio? (1) è non vuoto? (2) se sommo due elemeniti di tale insieme, ottengo un elemento di tale insieme? (3) se moltiplico un elemento di tale insieme per t in R ottengo un elemento dell'insieme?
Affinché sia un sottospazio devi verificare che, se prendi 2 suoi elementi qualsiasi e ne calcoli una combinazione lineare con coefficienti qualsiasi (a e b), il risultato sia ancora un vettore che appartenga ad U.
Prima di tutto cerca di capire come è definito il tuo U.
Nel tuo caso è l'insieme di tutti i vettori di R3 che hanno prima e terza componente uguali tra loro, e seconda comp. = 2.
Sia v1 = (x 2 x) e v2 = (y 2 y)
a*v1+b*v2 = etc.
In realtà si vede sùbito che U non è un Sottosp Vett di R3 perché se sommi due vettori come v1 e v2 sopra, ne avrai uno che alla seconda componente ha 4
Scrivilo come [0, 2, 0] + x*[1, 0, 1] e vedrai che è un sottospazio affine (ma non un sottospazio vettoriale, dato che non contiene l'origine)
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