La domanda è tutto fuorché banale. Il caso più semplice è -n x m. Stai sommando m volte un numero negativo, quindi il risultato sarà un altro numero negativo. Se diciamo che l’operazione si moltiplicazione su numeri negativi gode della proprietà commutativa, allora n x (-m) = -m x n e siamo nel caso di prima. Partendo da qui si arriva anche a dimostrare che -n x (-m) dà un numero positivo
Fornire anche una spiegazione fisica con lo specchio (che consideriamo come operatore). Una persona (positivo) si mette di fronte allo specchio (negativo) e il risultato è se stesso negativo (es un neo a sinistra passa a destra), quindi +x-=-. Se ora prendo un altro specchio e lo metto di fronte al primo, ecco che il neo torna al suo posto, quindi -x-=+. Ai miei studenti questo ragionamento li aiuta molto a comprendere il concetto.
Considera un piano cartesiano. Moltiplicare due numeri positivi può essere considerato come calcolare l"area di un rettangolo con la base sull'asse x e l'altezza sull'asse y, quindi tutto nel primo quadrante. Se si ribalta il rettangolo nel secondo quadrante, il rettangolo stesso mostra la faccia opposta che può essere considerata come la faccia negativa. Se poi lo si ribalta ancora nel terzo quadrante ricompare la faccia positiva. Infine, nel quarto quadrante si ripresenta la faccia negativa
La regola dei segni nel prodotto fra due numeri relativi è stabilita per convenzione
Volendo una spiegazione grafica si può ricorrere ai vettori
Nei vettori il segno + e il segno - indicano versi opposti
esempio:
(+2)x(+3)=
(+2)+(+2)+(+2)=
(+3)+(+3)=6
(+2)x(-3)=
-(+2)-(+2)-(+2)=
(-3)+(-3)=-6
(-2)x(-3)=
-(-2)-(-2)-(-2)=
-(-3)-(-3)=6
spiegazione straordinaria, ma anche "scherzosa":
È solo un problema di convenzioni.
Occorre distinguere in un prodotto il moltiplicando dal moltiplicatore.
Il segno del moltiplicando rappresenta una sua qualità. Ad esempio segno + pallina bianca, segno - pallina nera.
Invece il segno del moltiplicatore lo interpreto come un operatore che inverte la caratteristica del risultato. Mi spiego.
Ci sono 2 scatole con 3 palline nere. Quante palline in tutto? Scrivo (-3) come moltiplicando, cioè 3 palline nere per ogni scatola, e lo moltiplico per 2 volte: (-3)×2=(-6), cioè il risultato è 6 palline nere. Insomma il moltiplicatore dice quante volte devo prendere il moltiplicando. Attribuire un segno al moltiplicatore sembra non avere molto senso perché il moltiplicatore dice "quante volte", e questa funzione è un numero assoluto. Ma se io volessi dire che non mi basta contare le palline nere, ma voglio anche cambiarle di colore alla fine, come faccio? Per prima cosa invento l'operatore cambio attributo (-), poi invento la convenzione di assegnare un attributo al moltiplicatore, cioè se gli assegno attributo negativo significa che voglio cambiare attributo al risultato.
(-3)×(-2)=(-)(-6)=(+6)
Questa convenzione di considerare il segno come attributo sia del moltiplicando che del moltiplicatore, pur con diverso significato, è comoda perché permette di invertire l'ordine dei fattori scambiando la funzione del moltiplicando con quella del moltiplicatore senza influenzare il risultato e quindi estendendo anche alla moltiplicazione tra numeri relativi la proprietà commutativa che vale per la moltiplicazione tra numeri naturali.
(a-a)*b = 0*b = 0
Ma è anche
(a-a)*b =a*b + (-a)*b
In conclusione a*b + (-a)*b = 0 e questo può aversi solo se più per meno è meno. Simile dimostrazione per il prodotto fra due numeri negativi
Spesso, meno per meno o meno per più, simpaticamente:
I nemici dei miei nemici sono i miei amici, ecco perchè negativo moltiplicato per negativo fa positivo.
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