stabilisci se è applicabile il teorema di Rolle
f(x) = cos (2x)
Il Teorema di Rolle si applica in un intervallo [a,b], quindi, ad esempio:
(-3/4pgreco, - pgreco/4
per verificare il Teorema di Rolle per f(x)=cos(2x) in [-¾π,¼π] si devono verificare le 3 ipotesi del teorema
la funzione f(x)=cos(2x) è continua per ogni x in IR, essendo composizione di cos(x) e 2x, che sono funzioni continue in tutto IR. Dunque f è in particolare continua in [-¾π,¼π];
• lo stesso discorso vale per la derivabilità: f è composizione di funzioni derivabili per ogni x in IR, quindi in particolare f è derivabile in (-¾π,¼π);
• devi verificare infine che f(-¾π)=f(¼π). Calcoliamo f(-¾π)=cos(2(-¾π))=cos(-(3/2)π)=cos((3/2)π)=0,
f(¼π)=cos(2(¼π))=cos(½π)=0. Entrambi fanno 0, quindi i due valori sono uguali.
Le tre ipotesi di Rolle sono verificate, perciò vale il Teorema di Rolle
Se poi volessi applicare il Teorema, essendo le tre ipotesi valide, si ha che esiste un elemento c in (-¾π,¼π) per cui f'(c)=0. Per trovare questo elemento c si calcola la derivata e la si pone uguale a 0.
f'(x)=-2sin(2x)=0 --> sin(2x)=0 --> 2x=kπ con k€Z --> x=kπ/2 con k€Z. Tra questi infiniti valori tu puoi accettare solo quelli che si trovano in (-¾π,¼π) e in questo intervallo cadono soltanto -½π e 0, cioè quelli che corrispondono a k=-1 e k=0. Allora i punti dati dal Teorema di Rolle sono c=-½π e c=0
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