Per risolvere questo problema, iniziamo definendo le relazioni tra i lati del triangolo rettangolo ABC e le semicirconferenze disegnate su di esso.
Sappiamo che la somma dei due cateti è 42 cm e che uno dei cateti è 3/4 dell'altro. Supponiamo che il cateto minore sia lungo x e il cateto maggiore sia 3x/4. Quindi, la somma dei due cateti è:
x+3x/4=42
Per risolvere l'equazione:
4x+3x=168
7x=168
x=168/7
x=24
Quindi, il cateto minore misura 24 cm e il cateto maggiore misura 3/4 di 24, cioè 18cm.
Ora, possiamo procedere a calcolare l'area delle due semicirconferenze.
La formula per l'area di una semicirconferenza è πr^2/2, dove r è il raggio.
Il raggio di ciascuna semicirconferenza corrisponde alla metà del lato del triangolo rettangolo che la contiene.
Per la semicirconferenza avente come diametro il cateto minore (24 cm), il raggio è 12 cm.
Per la semicirconferenza avente come diametro il cateto maggiore (18 cm), il raggio è 9 cm.
Calcoliamo l'area delle due semicirconferenze:
Per la semicirconferenza con raggio 12 cm : Area1=(π⋅12^2)/2
Per la semicirconferenza con raggio 9 cm : Area2=(π⋅92^2)/2
Infine, per ottenere l'area delle due lanule celesti, sottrai l'area della semicirconferenza più piccola dall'area della semicirconferenza più grande e somma il risultato con l'area della parte triangolare rimanente.
Area della lanula celeste =∣Area1−Area2∣+12⋅(24×18)
Calcolando i valori approssimati, si ottiene l'area occupata dalle due lanule celesti.
