Supponiamo che un numero intero n sia della forma n = pᵏ, cioè una potenza perfetta di un primo p, con k > 1 (cioè n NON è primo)
Si vuole dimostrare che n può terminare con qualsiasi cifra decimale, eccetto 0.
Riformulato: l'equazione modulare pᵏ = m (mod 10) ha soluzioni per ogni m = 1, 2, ..., 9 per k > 1 e p primo?
Io l'ho risolto per casi, cioè trovando p e k che finiscono per qualsiasi cifra (esempio: 11², 2⁵, 3⁵, 2², 5², 2⁴, 3³, 2³, 3²), ma è una dimostrazione un po' noiosa e non c'è molto da imparare.
tramite il noto teorema di von Wasselwitz-Scannabelve?
Comunque, esistono (infiniti) primi che terminano per 1, 3, 7, 9 (per il teorema di Dirichlet applicato alle progressioni 10k+1, 10k+3, 10k+7, 10k+9), e le potenze di questi terminano con 1, 3, 7, 9.
Ti restano i casi terminanti con numeri non-coprimi con 10, cioè 2, 4, 5, 6, 8, e questi ti vengono immediatamente dalle potenze di 2 e di 5:
2^5, 2^2, 5^2, 2^4, 2^3.
Se n terminasse con 0, sarebbe multiplo di 10 e quindi di 2 e di 5. Ma li secondo membro contiene un solo fattore primo per cui non può terminare con 0.
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