in ordine di come si studiano; cioe' confronto tra infiniti e tra infinitesimi.
- all'interno dell'arctg, una volta che hai sviluppato e^x, restano solo x, x^2, e potenze superiori; trascura tutto, tranne x, che e' il "meno piccolo" tra tutti. Hai ora arctg(x).
- sviluppa arctg(x) come hai fatto: basta fermarsi al primo termine visto che non lo devi fare "sbattere" contro nessun altro addendo; quindi il Num diventa x.
- sviluppa il sin(x) per x~0: basta fermarsi al primo termine: x, perche' anche qui non hai altro termine, eccetto l'1, che serve in quanto fa poi annullare il ln.
- ora al Den hai ln(1+x), sviluppalo in modo standard e anche qui ti fermi al 1o termine, cioe' x.
- hai ora Lim di x/x che fa 1.
oltre a fare sviluppi fino a un ordine un po' a caso "per stare coperta" (che, ho il sospetto, se fosse servito piu' alto non te ne saresti accorta), e' il passaggio finale: se x~0, x domina sopra x^2, x^3 etc; quindi devi mettere in evidenza solo x, che sara' il termine piu' alto. Se fai come hai fatto tu, dentro le parentesi poi ti trovi i termini dominanti che vanno all'infinito, e non e' facile confrontarli (parlo di x/x^3)
inoltre:
si tratta di infinitesimi e non di infiniti, quindi avresti dovuto raccogliere x e non x^3. Oppure tenere conto che nella somma di infinitesimi puoi trascurare quelli di ordine superiore, quindi bastava tenere x al numeratore e x al denominatore per ottenere come risultato 1. Se eri obbligato ad usare Taylor ok. Ma si poteva fare anche senza oppure in un primo momento sostituire gli infinitesimi equivalenti al numeratore e al denominatore e poi procedere con Taylor applicandolo a funzioni più semplici.
(x^2) + exp(x)-1 è infinitesimo, quindi arc((x^2) + exp(x)-1) è asintotico a (x^2) + exp(x)-1 ;
sin(x) è infinitesimo ed asintotico ad x, quindi ln(1+sin(x)) è asintotico ad x.
la funzione di partenza è dunque asintotica a [(x^2) + exp(x)-1]/x= x +[exp(x)-1]/x, che tende ad 1