Tra due numeri razionali vi sono infiniti numeri razionali, dunque l'insieme Q è: denso.
Nel libro di aritmetica di una ragazza di seconda media c'è un giochino a cruciverba riguardante i numeri razionali. Tra le varie domande c'è n'è una che dice:
Tra due numeri razionali vi sono infiniti numeri razionali, dunque l'insieme Q è: denso.
DENSO: È esattamente la definizione di insieme denso: tra due punti qualsiasi ne esiste sempre un altro (per cui, ne esistono infiniti altri).
La densità ha a che fare con la topologia e dagli studi di Piaget pare che le persone elaborino inizialmente una conoscenza dello spazio topologico, anziché geometrico.
quando scoprirà i reali troverà che i razionali sono densi nei reali e scoprirà che i reali hanno la potenza del continuo: ammettono i cosiddetti punti di accumulazione, cosa che i razionali non hanno, ad esempio il numero di nepero=e e definito sui razionali e da una particolare successione di numeri razionali, ma non converge ad alcun numero razionale. la densità dei razionali è la proprietà che ci garantisce che i conti fatti con i calcolatori elettronici che usano un piccolo sottoinsieme dei razionali hanno un significato fisico e matematico, per cui i palazzi costruiti con i calcoli degli ingegneri civili su calcolatori reggono l'urto di un terremoto. Q è denso in Q e sopratutto in R anche se Q ha una misura nulla in R perché continua ad avere la potenza del numerabile Q è equipotente ai naturali N
ma essendo ℚ un insieme denso, ammette punti di accumulazione (ogni razionale è un punto di accumulazione di ℚ).
vero ma non è completo come R, il numero di nepero non appartiene a Q ma a R, la successione del numero di nepero è di cauchy nei razionali ma non converge in Q ergo gli manca la completezza. in R ogni successione di cauchy converge cosa che non avviene in Q, anche se la completezza di un insieme dipende dalla metrica accoppiata all'insieme, per le metriche che conosco Q non è completo, forse esistono metriche che mi sfuggono o che non ho mai visto: ho una formazione da ingegnere non da matematico, uno spazio metrico è definito da una coppia(X,d) dove X è lo spazio e d è la metrica, spesso si preferisce estendere lo spazio e conservare la metrica(che ha un ben preciso significato fisico), per cui R potrebbe essere visto come l'estensione di Q, in modo tale che con la metrica del modulo sia completo