Se l ordinata deve essere minima, mi viene da pensare che tale punto di flesso deve essere anche il punto di minimo assoluto. Quindi basta trovare il minimo ponendo la derivata prima uguale a zero, e poi trovare il flesso ponendo la derivata seconda augurale a zero. Saranno entrambi in funzione di k.
A questo punto li eguagli, ed hai trovato il valore di k
Ma così se il flesso fosse orizzontale. Ho provato a porre uguale a zero la y'''. Ho trovato la x in funzione di k. E ho sostituito nella funzione. Ma senza esito.
ponendo la derivata seconda =0 otteniamo X=-2K poi sostituiamo nella funzione di partenza e ricaviamo una nuova funzione f(K)=10/3K^3-30K di questa funzione cerchiamo il minimo facendo la derivata prima f'(K)=10K^2 -30 ----> K=radice(3) la soluzione negativa va scartata .Adesso devi verificare che quel punto sia un minimo e che X=-2K sia effettivamente un flesso.
Chiamo f_k(x) la funzione assegnata. Calcolandone la derivata seconda e studiandone il segno si capisce che ogni f_k un solo punto di flesso x_k=-2k.
A questo punto per k>=0 definisco g(k) := "ordinata del punto di flesso di f_k" e cerco il minimo di g.
Risulta g(k) = f_k(2k) = -(8/3)k^3 + 8(k^3) -2(k^3)-30k = (10/3)k^3- 30k, da cui g'(k)= 10k^2-30. Risulta g'(k)=0 solo per k=+/- sqtr(3) [più o meno radice di tre] e con un veloce studio del segno si ottiene che sqtr(3) è punto di minimo assoluto per g, quindi f_k*, dove k*=sqrt(3), è tra le f_k quella il cui flesso ha la minima ordinata