trigonomicamente come mai per fare il prodotto scalare moltiplichiamo il vettore a per la proiezione di b su a
Partirei con l'enunciare la definizione di prodotto scalare come somma dei prodotti delle componenti dei due vettori.
Per prima cosa è essenziale dimostrare che questa è una buona definizione, ovvero che non dipende dal sistema di riferimento adottato (qualunque sia la scelta degli assi cartesiani, purché ortogonali tra loro, la somma dei prodotti delle componenti dei due vettori è la stessa).
Assodato ciò, la tua domanda è più precisa: "perché, geometricamente, la definizione succitata di prodotto scalare coincide con il prodotto del modulo di un vettore per quello della proiezione dell'altro?". Se è vero quanto abbiamo dimostrato, ovvero che la definizione di prodotto scalare come somma dei prodotti delle componenti è indipendente dalla scelta degli assi cartesiani (rispetto ai quali si misurano le componenti dei vettori), allora puoi scegliere una terna di assi cartesiani tale che uno di essi (chiamiamolo asse 'x', tanto per dargli un nome) sia allineato al primo vettore. In tale riferimento il secondo vettore ha per componente 'x' la propria proiezione lungo il primo vettore. Quanto valgano le sue componenti rispetto agli altri assi poco ci importa, poiché le componenti del primo vettore lungo gli altri assi sono nulle. Dunque, in tale riferimento, la definizione di prodotto scalare viene a coincidere con il prodotto del modulo del primo vettore per (il modulo del)la proiezione del secondo sul primo.
Che era ciò che volevi dimostrare.
da cosa capiamo che non dipende dal sistema di riferimento? Ce lo dice la definizione o è sempre così?
No, va dimostrato. Lo si può dimostrare con un po' di nozioni di algebra lineare. Essenzialmente si tratta di dimostrare che scegliendo un nuovo sistema di riferimento, ovvero una differente terna di assi cartesiani (ortogonali tra loro) le componenti di ogni vettore trasformano per moltiplicazione di una matrice ortogonale (cioè una rotazione). Il prodotto scalare è un'applicazione bilineare che trasforma per coniugio con tale matrice. Il coniugio della matrice identità, attraverso una matrice ortogonale, è sempre l'identità. Quindi il prodotto scalare è invariante sotto rotazioni (del sistema di riferimento). È un po' tecnico, sono nozioni di un corso di algebra lineare (geometria) di un qualunque corso del primo anno di matematica, fisica o ingegneria
Teoricamente e Praticamente:
il prodotto scalare di due vettori è uno scalare che ha come valore il prodotto della lunghezza dei due vettori per il coseno dell' angolo da essi formato. Che poi un vettore A o B per il coseno dell' angolo fra essi formato è la proiezione di tale vettore sull' altro . In ogni caso non c'è niente da capire . È una definizione. Se poi una grandezza fisica scalare dipende da due grandezze fisiche vettoriali in modo tale che è massima e direttamente proporzionale ai moduli dei due vettori quando essi agiscono parallelamente nello stesso verso ed è zero se i vettori sono perpendicolari , invece di stare a elencare tutte queste proprietà si dice che quella grandezza è il prodotto scalare delle altre due
Più i vettori tendono ad essere paralleli, più il loro prodotto scalare aumenta. Ovvio che per considerare il prodotto scalare si prende l'angolo che c'è tra i due vettori. All'aumentare di questo angolo la proiezione del vettore sull'altro, diminuisce, e di conseguenza il loro prodotto scalare. Infatti, la proiezione del vettore sull'altro, non è altro che il vettore moltiplicato per il coseno di tale angolo.
La definizione di prodotto scalare di due vettori è quella di prodotto delle lunghezze dei due vettori per il coseno dell'angolo fra essi compreso. Ma la lunghezza di un vettore per il coseno suddetto è esattamente la proiezione di un vettore sull'altro.
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