Trovare i numeri reali x tali che x con esponente radice di x = radice di x con esponente x
Si può scrivere come:
x^x^1/2=x^((1/2)*x))
per x diverso da 1 e divesro da 0 equivale a:
x^1/2=x/2
dato che deve essere x>=0 si può quadrare:
x=x^2/4 e cioè x^2-4x=0 che ha come soluzioni 0 e 4. Si verifica che anche 1 (che avevamo escluso) è soluzione, 0 non può invece essere accettata (0^0 infatti è una forma indeterminata).
Le soluzioni sono allora: 1 e 4
Quelli per cui sqrt(x) = x/2 (prendendo i logaritmi di entrambe le parti, nella base preferita), il ché restringe le possibili soluzioni alle intersezioni dell’arco di parabola con vertice nell’origine e ruotata di 90 gradi e della retta di coefficiente angolare 1/2. I valori di tali intersezioni sono 1 e 4
x∈ℝ ⇒ x≥0 e per evitare 0⁰ ⇒ x>0
Quindi posso passare al logaritmo di entrambi i membri:
log(x^√x) = log(√(x^x))
√x ∙ log x = ½x ∙ log x
che è soddisfatta per:
log x = 0
⇒ x = 1
mentre per log(x)≠0 si ha:
√x = ½x
x = ¼x²
x(x-4) = 0
⇒ x = 4
(x=0 va scartata dato il vincolo x>0).
Quindi le soluzioni sono:
x ∈ {1, 4}
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