Trovare tutte le soluzioni intere dell’equazione x³-y³-xy = 61 indicando il procedimento
Con s = x - y, p = xy l'equazione si riscrive come
s(s^2 + 3p) - p = 61
<==>
s^3 +p(3s-1)= 61,
<==>
p = (61 - s^3)/(3s-1)
<==>
27p = -9s^2-3s-1 + 1646/(3s-1).
Sicché, 3s-1 deve essere un fattore di 1646=2*823.
Inoltre,
(x-y)(x^2 + y^2 +xy) = 61 + xy
Prendendo il valore assoluto e stimando per |x-y| >=2,
tenendo conto che x^2+y^2+xy >= |xy|, abbiamo
2|xy| <= 61 + |xy|
vale a dire
|xy| <= 61.
Pertanto,
|s| <= |x|+|y| <=2|xy| < 2*61,
perciò |3s-1| < 823 e quindi
3s-1 non potrà mai essere 823 oppure -828.
Ne consegue che 3s-1 deve essere 2, -2, 1 oppure -1.
Non può essere -2 oppure 1 perché s non sarebbe un intero.
Se 3s-1 = -1, allora s=0, cioe', x=y, il che non è possibile perché
-x^2=61 non ha soluzioni.
Rimane da esaminare il caso
3s - 1 = 2 che implica s=1, x=y+1,
(1+3p) - p = 61 ==> p=30, dunque
x=6, y=5 oppure x=-5,y=-6.
In conclusione, le uniche soluzioni intere dell'equazione data sono (6,5) e (-5,-6).
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