Ad un certo punto il piano diventa scabro e il cilindro raggiunge la condizione di puro rotolamento

rotola all'infinito. Non c'è lavoro di dispersione e l'energia cinetica si conserva.

perché dovrebbe rotolare all'infinito? Se la superficie diventa scabra (come da quesito), si creano resistenze alla traslazione e il cilindro inizia a rotolare solo perché supera il primo "gradino" che fa da fulcro; quindi inizia a rotolare, ma su una superficie scabra, che offre resistenze. A meno che l'area scabra sia limitata e poi divenga nuovamente liscia. Il movimento rimane conservato e si verifica quanto hai detto. Ma il quesito non lo specifica. È solo una supposizione

l'attrito è presente ma non lavora. quindi l'en.cinetica si conserva. all'infinito.

a regime, ovvero a moto rotolamento iniziato su superficie scabra, quant'è l'attrito? zero

Consideriamo il cilindro che ha velocità v_0, raggiunta la condizione di puro rotolamento il centro di massa ha una velocità v e inoltre il sistema ruota con velocità angolare omega tale per cui 0=v-omega r, cioè che la velocità del punto di contatto è zero. Chiaro è che v<v_0 perché la forza di attrito dinamico ha fatto diminuire la velocità del centro di massa e generato un momento tale per cui la velocità angolare aumentasse per arrivare alla condizione 0=v-omega(t) r. Dunque, da qui in poi cosa succede? supponiamo per assurdo che la forza di attrito statico sia diversa da zero e che punti sempre nella stessa direzione. Il moto del cilindro è di puro rotolamento pertanto deve ancora valere in qualsiasi instante la condizione 0=v(t)_{cm}-omega(t) r. Ora, sappiamo che siccome la velocità del centro di massa diminuisce nel tempo ci sarà un certo istante per cui v_{cm}(t)=0 e quindi per la condizione di puro rotolamento 0=0+omemga(t) r. Ma omega non può essere nulla perché la forza di attrito genera un momento che la fa aumentare, assurdo. Concludiamo che f=0.

Abbiamo detto che l'energia cinetica rimane fissa. Se attrito diverso da zero, esiste acc. frenante del cdm (prima equazione) quindi en. cin del cdm calerebbe. Aumenterebbe omega, ma distruggerebbe la cond. di rotolamento. Quindi f=0