un cubo è appoggiato su un piano. un bambino lo muove n volte, facendolo rotolare (senza strisciare)
Le posizioni del cubo sono schematizzabili con i punti a coordinate intere del piano cartesiano. Ad ogni passo cambia la parità di una delle due coordinate, ma non quella cambiata nel passo precedente. Di conseguenza dopo due passi deve essere necessariamente cambiata la parità di entrambe le coordinate. Affinché il cubo torni nella posizione iniziale la parità deve tornare la stessa di quella iniziale e quindi sono necessari 4 passi o multipli di 4 passi.
affinché il cubo torni alla posizione iniziale dopo n=4k passi è necessario che la traiettoria contenga k passi verso l'alto e k verso il basso in ordine qualunque, alternati con k verso destra e k verso sinistra in ordine qualunque. Ciascun gruppo di passi si può realizzare in (2k)!/k!^2 modi. Quindi il numero di sequenze con queste caratteristiche è (2k)!^2/k!^4.
Il numero totale di sequenze con 2k passi in orizzontale è 2^(2k), idem per le sequenze con 2k passi in verticale. Quindi il numero totale di sequenze di 4k passi che alternano passi casuali orizzontali e verticali è 2^(4k).
La probabilità richiesta è quindi
(2k)!^2/[k!^4×2^(4k)]
Se assegniamo +1 a una mossa a destra (alto) e -1 a una mossa a sinistra (basso), e consideriamo che "alternare orizzontale e verticale per 2N passi" = "considerare due sequenze, una di N in orizzontale e una di N in verticale" chiaramente il totale delle mosse 2N e
multiplo di quattro perché N e
multiplo di due (altrimenti non somma a zero).
La probabilità di tornare nell'origine nel caso proposto (2D) e` il quadrato della probabilità per un random walk su reticolo di tornare nell'origine dopo N passi (quadrato perché ci devo tornare orizzontalmente e verticalmente: assumo che il quadrato originale faccia 2N mosse, N orizzontali e N verticali). Per questo, vediamo la probabilità di aver fatto m passi a destra (e N-m a sinistra): P(m) = N!/(m! (N-m)!) (1/2)^m (1/2)^(N-m)
Tornare all'origine su una delle due direzioni => m = N/2
Probabilità = (N!/(N/2!)^2 * 1/2^N)
e di questa si prende il quadrato
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