Un numero irrazionale è un numero che non può essere scritto come una frazione n/m con n ed m interi ed m diverso da 0. I decimali di un numero irrazionale sono infiniti e NON formano una sequenza periodica (questo concetto è fondamentale).

L'esistenza dei numeri irrazionali fu scoperta da Ippaso di Metaponto 500 anni circa prima di Cristo. Ippaso era il numero due della setta dei pitagorici (ovviamente dopo Pitagora) e si pensa provenisse da Metaponto o da Sibari. La leggenda narra che avesse tracciato un triangolo rettangolo isoscele con i cateti di un'unità e avesse affermato che l'ipotenusa “non fosse un numero”. Per i pitagorici, infatti, i numeri erano solo quelli naturali positivi (1,2,3 ecc.) e le loro frazioni (2/3, 3/4, ecc.). In una figura del genere l'ipotenusa era uguale alla radice di due, ma questo numero non si poteva esprimere come una frazione e Ippaso lo aveva dimostrato. La leggenda continua raccontando come Pitagora avesse cercato di confutare la dimostrazione di Ippaso e alla fine, non riuscendoci, lo avesse fatto affogare nel mare di Crotone. I pitagorici, a quel tempo, erano una specie di setta religiosa e la loro idea era che “il numero fosse l'essenza della natura”, quindi, secondo loro, non potevano esistere numeri come la radice quadrata di due.

In verità, esiste una tavoletta d’argilla sulla quale uno scriba babilonese, 4000 anni fa, scrisse il valore della radice di due con cinque decimali. A parte questo reperto, la storia di questo numero inizia con i pitagorici. La radice quadrata di due è un numero irrazionale “algebrico”, ma esistono altri numeri irrazionali che sono stati definiti “trascendenti”, come pigreco e il numero di Nepero “e”. I numeri trascendenti non sono soluzioni di polinomi a coefficienti interi.

La dimostrazione dell'irrazionalità della radice quadrata di due è un esempio di “reductio ad absurdum”, cioè si procede per assurdo. Si parte con l'ipotesi opposta, si arriva a una contraddizione, quindi deve essere vero il contrario, che è quello che si voleva dimostrare.

Supponiamo che sqrt(2) sia un numero razionale. Quindi è un numero che può essere espresso come una frazione di due numeri interi che non hanno fattori comuni. In gergo matematico si dice che sono “coprimi” (primi fra loro). Scriviamo quindi questa equazione:

sqrt(2) = a/b.

Eleviamo tutto al quadrato.

2 = a^2/b^2 ovvero

a^2 = 2*b^2

Questa equazione dimostra che a^2 è pari e quindi anche “a” è pari.

Poniamo adesso a=2*k e sostituiamolo ad “a” nell'ultima equazione.

a^2 = 2*b^2

2*b^2 = (2*k)^2

2*b^2 = 4*k^2

b^2 = 2*k^2

Abbiamo dimostrato che anche “b” deve essere pari, ma allora a/b non era vero che erano coprimi.

Abbiamo ottenuto una contraddizione immaginando che sqrt(2) fosse un numero razionale, quindi deve essere vero l'opposto: sqrt(2) è un numero irrazionale.

Abbiamo detto che avere infiniti decimali non è sufficiente per essere un numero irrazionale. Prendiamo per esempio 0,545454 (54 periodico). Anche qui i decimali sono infiniti, ma c'è una ripetizione (54), quindi questo numero NON è irrazionale. Infatti si può esprimere come a/b ovvero 6/11.

La definizione di numero razionale è questa:

“Un numero che si può esprimere nella forma a/b, dove a e b sono interi, coprimi, con b diverso da zero, e quindi la sua espansione decimale è finita o si ripete.”

Questo fa sorgere un problema: se abbiamo un numero con un'espansione decimale che si ripete, come facciamo a trovare i numeri interi della frazione a/b? Esiste un metodo che indicherò tramite un esempio.

Prendiamo il numero X = 0,34 75609 75609 75659 (75659 periodico).

1) Poiché il numero che si ripete ha 5 cifre, moltiplichiamo X per 10^5 (100.000).

100.000 * X = 34756,09 75609 75659 (75659 periodico).

2) Ora sottraiamo X da entrambi i membri.

99.999 * X = [34756,09 75609 75659 (75659 periodico)] - [0,34 75609 75609 75659 (75659 periodico).]

99.999 * X = 34755,75 (in questo modo abbiamo eliminato il fattore 75659 periodico).

3) Moltiplichiamo per una potenza di 10 in modo da eliminare i decimali. In questo caso moltiplicheremo per 100.

9999900 * X = 34755575

4) Semplifichiamo.

X = 34755575 / 9999900 (divido per 9)

X = 386175 / 1111100 (divido per 25)

X = 15447 / 44444 (divido per 271)

X = 57 / 164 (questi numeri sono coprimi)

L'ultima divisione per 271 l'ho trovata con Excel.

Quindi 57/164 = 0,34 75609 75609 75659 (75659 periodico).

Con questa procedura si trovano le frazioni di un qualsiasi numero con espansione decimale periodica.