calcolare l'area massima Amax e il valore dei cateti di un triangolo rettangolo con ipotenusa uguale a 5
L'area è massima quando i due cateti sono uguali e quindi c=5radq(2)/2 e l'area è 25/4.
Sia i=5 l'ipotenusa. Siano c1=x e c2=√{i^2-c1^2} i due cateti. L'area sarà S=c1*c2/2=x*√{i^2-x^2}/2
Dobbiamo annullare la derivata prima:
√{i^2-x^2}/2+1/2 *x*1/2 *1/(√{i^2-x^2})*(-2x)=0
Sia i=/= x, altrimenti avremo S=0, che è un minimo, non un massimo.
Razionalizziamo:
i^2-x^2-x^2=0
i^2-2x^2=0
x=i/√2 (abbiamo scartato la soluzione negativa)
Da ciò
S=x*√{i^2-x^2}/2=i/√2*√{i^2-((i^2)/2)}/2=
=i^2*4=25/4=6,25
Ragionare partendo dal coseno:
25cos(2x)=0 -> 2x=Pi/2 -> x=Pi/4. Triangolo rettangolo isoscele, area=25/4, cateti=5*radice(2)/2
perchè partire nella risoluzione dal coseno?
dal coseno perché è la derivata della funzione che esprime l’area in funzione di uno dei due angoli. Essendo il risultato Pi/4 il triangolo è isoscele.