una somma (qualunque) di razionali può dare un risultato irrazionale
La serie di 1/n^2 per n che va da 1 a +inf è uguale a π^2/6 (problema di Basilea).
Però stiamo effettuando un passaggio al limite infinito di una sommatoria di razionali, quindi non è una somma in senso stretto
Se si parla di somma finita, non si può ottenere un numero irrazionale perché Q è chiuso rispetto alla somma usuale
Una somma di razionali non può dare come risultato un numero irrazionale.
p/q + r/s = (ps+qr)/(qs) che è a sua volta un numero razionale. (Tecnicamente, si dice che gli irrazionali solo un campo, cioè una struttura algebrica con un’operazione di addizione - più altre proprietà - interna all’insieme stesso).
Iterando, lo stesso vale per una somma di un numero qualsiasi finito di razionali.
Come già detto da altri, se si passa alle serie, cioè ad un numero infinito di addendi, tutto è possibile. Ma qui c’è sottinteso un passaggio al limite che si potrebbe considerare più di una somma - direi che è soggettivo se considerare o meno una serie come una somma? È una sua generalizzazione.
Tra le tante, una serie famosa di razionali in cui il limite è irrazionale è quella che definisce il numero di Napier:
e = Σⱼ1/j! = 1 + 1/2 + 1/3! + 1/4! + ···.
Personalmente chiamerei "somme generalizzate/infinite" i limiti delle serie numeriche assolutamente convergenti (ed eviterei di usare questo termine per le altre). Questo principalmente per retaggio culturale/linguistico, un po perché in letteratura inglese si parla spesso di "infinte sum" per indicare il limite della serie, un po perché vari prof che ho seguito all'uni si esprimevano cosi. Ma sono cmq d'accordo con te, rimangono dettagli "linguistici". Detto ciò, però, se consideriamo appunto una serie convergente assolutamente cos'è che la distingue davvero dalle somme finite, a livello aritmetico?
La risposta è no. A meno che non si tratti di 'somme infinite' che però necessitano di una definizione rigorosa in termini di limiti.
pensandoci: Una somma di un numero finito di termini razionali può dare solo un razionale. Invece una somma infinita di razionali definita come una serie potrebbe tranquillamente dare un numero irrazionale. In fondo è un limite e quindi come dalla definizione degli irrazionalicome separatori di successioni di razionali.
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