un'autofunzione può considerarsi un vettore a dimensione infinita?
Concetto: I vettori non hanno dimensione.
Idea, esistono gli spazi di Banach, che possono avere anche dimensione finita ma praticamente sono interessanti solo quelli a dimensione infinita, e diversi insiemi di funzioni lo sono.
Un esempio sono le funzioni continue di variabile reale sull'intervallo [0,1].
gli spazi vettoriali di dimensione infinita non sono tutti tra loro isomorfi in modo... interessante. Quando la dimensione dello spazio vettoriale è infinita, diventano essenziali le proprietà strutturali del singolo spazio. Ad esempio, lo spazio vettoriale delle funzioni continue su un dato insieme ha dimensione infinita (genericamente parlando), così come lo spazio L^2 delle funzioni a quadrato sommabile. Ma confonderli mediante un isomorfismo algebrico farebbe più che altro danni.
un'autofunzione è un vettore di uno spazio vettoriale, che ha certe proprietà, rispetto ad un operatore lineare.
Se prendi una base di tale spazio vettoriale, quel vettore che tu chiami autofunzione si rappresenta ovviamente in termini di tale base come una combinazione lineare *finita*.
Se sei in uno spazio di Hilbert, puoi anche prendere una base ortonormale e rappresentare ogni elemento come una *serie* in tale base. (cioè con infiniti coefficienti non nulli).
Ancora, tutto dipende da quali siano lo spazio vettoriale di funzioni che consideri e l'operatore rispetto a cui consideri l'autofunzione....
Il laplaciano su L^2, su H^1, su W^{1,2}, ad esempio?
No.
Ma può essere rappresentato da una base di funzioni con medesimo dominio e codominio.
Ricorda che una combinazione lineare di vettori è ancora un vettore, dello stesso spazio vettoriale, perciò se vuoi scrivere una funzione come combinazione lineare i vettori base devono essere a loro volta funzioni (e non elementi di IR)
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